Question

如图,Rt三角形ABC中,

如图,Rt三角形ABC中,∩C=90度,BC=6.AC=8,点P.Q都是斜边AB上的动点,点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ，点D,E分别是点A,B以Q，P为对称中心的对称点，HQ垂直AB于Q,交AC于点H，当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动，设BP长为x，三角形HDE面积为Y 1，求Y与x的函数解析式冰球求Y的最大值 2.当x为何值时，三角形HDE为等腰

Answer 1

　　1）由已知得D是以Q为对称中心的A的对称点
则AQ=DQ
于是在△ADH中有
∠A=∠ADH
∵HQ⊥AB
则∠DHQ=∠C=90°
则△DHQ∽△ABC
∴HQ/DQ=BC/AC=6/8=3/4
HQ=3/4DQ=3/4x
根据勾股定理有
AB²=AC²+BC²=36+64=100
解得AB=10
由已知得BP=EP=AQ=DQ=x
则DE=10-4x
则△HDE面积
y=1/2HQ*EQ=1/2*3/4x*[x+(10-4x)]
=15/4x-9/8x²
2）因DH/DQ=5/4
则DH=5/4x
若△HDE为等腰三角形，则有
DH=DE
5/4X=10-4X
解得x=40/21

追问

我觉得那等腰应该有好几解吧

Answer 2

BP=PE=DQ=QA=X
那么ED=10-4x
三角形面积为Y=1/2 XED X QH
QH可以用三角形相似求出，为3x/4
这就可以写出Y的表达式
Y=1/2 X (10-4X) X 3x/4
然后就是一元二次方程求解最大值的问题了
（2）要想三角形EDH为等腰三角形，只能是ED=EH
而DH=AH 在三角形AQH中，用三级函数或者三角形相似，都能求出AH 为 5X/4
那么就是5X/4 = 10-4x
可以求出x=40/21

Answer 3

1 分0＜x≤2.5；2.5＜x≤5两种情况讨论，得到y关于x的函数关系式，再利用二次函数的最值即可求得最大值；
2 等腰三角形有两边相等，根据所在的不同位置再分不同的边相等解答．