先证
假定区域D 的形状如下（用平行于轴的直线穿过区域，与区域边界曲线的交点至多两点）。
易见，图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况，我们仅对图一所表示的区域D。
给予证明即可。
另一方面，据对坐标的曲线积分性质与计算法有：
假设将AB曲线上移，或EC曲线下移，使AE重合或者BC重合，便可以认为是一条常规的曲线。也可以认为某条常规曲线是由右图将AE或BC长度设为零形成的。
再假定穿过区域D内部且平行于x轴的直线与D的边界曲线的交点至多是两点。
将两式合并之后即得格林公式：
扩展资料：
含义
在平面闭区域D上的二重积分，可通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达；或者说，封闭路径的曲线积分可以用二重积分来计算。
如区域D不满足以上条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合上述条件，仍可证明格林公式成立。
注意：对于复连通区域D，格林公式的右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界方向对区域D来说都是正向。
格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系，因此其应用十分地广泛。
参考资料来源：百度百科-格林公式
这个问题己经四年了啊...，估计你己经明白或不需要这个答案了
但是为了给初学曲线积分的人一点贡献，
因为积分区域从 X-型情形来看 和 从 Y-型情形来看是不同的
X - 型情形 a < x < b , ab 对应的是下弧线L1, ba 对应的是上弧线L2，积分方向是逆时针
而Y -型情形 c < y < d , cd 对应的是右弧线L3（位置对应于X-型情形的L2）, dc 对应的是左弧线L4（位置对应于X-型情形的L1），积分方向是顺时针
因为积分方向不同，所以符号是相反的，P有负号，Q没有负号
假定区域的形状如下(用平行于轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)
易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域给予证明即可.
另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有
因此
再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证
综合有
当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴( 轴或轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有
,
同时成立.
将两式合并之后即得格林公式
注:若区域不满足以上条件,即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时,可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域,使得每个部分区域适合上述条件,仍可证明格林公式成立.
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