Question

证明x3+3x+1=0有唯一实根

Answer 1

令f(x)=x³+3x+1,x∈R
设x1<x2,则
f(x1)-f(x2)
=x1³-x2³+3(x1-x2)
=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²+3)
=(x1-x2)[(x1²+2x1x2+x2²)/2+(x1²+x2²)/2+3]
=(x1-x2)[(x1+x2)²/2+(x1²+x2²)/2+3]
∵x1<x2
∴x1-x2<0,又(x1+x2)²/2+(x1²+x2²)/2+3>0
∴f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2)
∴f(x)=x³+3x+1在R上为单调递增函数
∴x³+3x+1=0有唯一实根

Answer 2

令f(x)=x^3+3x+1
f'(x)=x^2+3≥3
∴f（x）在R上单增
x →负无穷，f（x）→负无穷
x →正无穷，f（x）→正无穷
∴在R上存在且只存在一点x0使得f（x）=0
即x3+3x+1=0有唯一实根

Answer 3

令f(x)=x^3+3x+1
f'(x)=x^2+3≥3
因此函数f(x)在R上单增
因此，f(x)=x^3+3x+1=0有唯一实根