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1、一道高数证明题：
这第32题证明解答过程见上图。
2、这道高数证明题，用泰勒公式可以证明。
3、32高数题证明时，先在x处进行泰勒公式，然后取0，1得两个式子。再相减后的式子方放大，就可以证明得出。
具体的这道高数证明的详细步骤见上。
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把不等式改写为：4lnx－x－2+3/x≥0。
设f(x)＝4lnx－x－2+3/x，则f(x)在（0，2]上连续，在（0，2）内可导，f'(x)＝4/x－1－3/x^2＝(x－1)(3－x)/x^2。
函数f(x)在区间(0，2）内的驻点是x＝1，x<1时f'(x)<0，x>1时，f'(x)>0，所以f(x)在x＝1处取得极小值，也是最小值f(1)＝0。所以当x∈(0，2）时，f(x)≥0，即4xlnx-x^2-2x+3≥0.
设f(x)＝4lnx－x－2+3/x，则f(x)在（0，2]上连续，在（0，2）内可导，f'(x)＝4/x－1－3/x^2＝(x－1)(3－x)/x^2。
函数f(x)在区间(0，2）内的驻点是x＝1，x<1时f'(x)<0，x>1时，f'(x)>0，所以f(x)在x＝1处取得极小值，也是最小值f(1)＝0。所以当x∈(0，2）时，f(x)≥0，即4xlnx-x^2-2x+3≥0.
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令f(x)＝4xlnx-x^2-2x+3，0<x<2。
求一阶导数：f'(x)＝4lnx-2x+2，显然，x＝1时有f'(x)＝0，
1.x逼近于0时，limf'(x)<0,f(x)在区间(0，1）上单调递减；
2.x逼近于2时，limf'(x)=4ln2-2=ln16-lne^2=ln(4/e)^2,4>e,所以4/e>1，所以limf'(x)>0，f(x)在区间(1，2）上单调递增；
3.所以，所以f(x)在x＝1处取得极小值（最小值），f(1)＝0，所以有f(x)≥f(1)＝0成立。即证结论成立！
求一阶导数：f'(x)＝4lnx-2x+2，显然，x＝1时有f'(x)＝0，
1.x逼近于0时，limf'(x)<0,f(x)在区间(0，1）上单调递减；
2.x逼近于2时，limf'(x)=4ln2-2=ln16-lne^2=ln(4/e)^2,4>e,所以4/e>1，所以limf'(x)>0，f(x)在区间(1，2）上单调递增；
3.所以，所以f(x)在x＝1处取得极小值（最小值），f(1)＝0，所以有f(x)≥f(1)＝0成立。即证结论成立！
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