Question

求函数f(x)=lg(x-x²)的定义域，值域，单调区间，要过程

Answer 1

求函数f(x)=lg(x-x²)的定义域，值域，单调区间。

解：定义域：由x-x²=>0，即x²-x=x(x-1)<0得定义域为0<x<1.

设f(u)=lgu，u=x-x²=-(x²-x)=-[(x-1/2)²-1/4]=-(x-1/2)²+1/4；f(u)是u的增函数，u是x的二次函数，u的图像是一条开口朝下的抛物线，顶点为(1/2，1/4)；当0<x<1/2时，u单调增，当1/2<x<1时u单调减；因此在区间(0，1/2]内f(x)单调增；在区间[1/2，1)内f(x)单调减。

值域：maxf(x)=f(1/2)=lg(1/2-1/4)=lg(1/4)=-lg4=-2lg2；

由于0<x<1时，0<u≦1/4，故当x➔0或1时，f(x)➔-∞，即f(x)的值域为(-∞，-2lg2].

其图像如下：

Answer 2

定义域是x-x^2>0

x^2-x<0
即有:0<x<1
值域是:R
由于g(x)=-x^2+x=-(x-1/2)^2+1/4
在(-无穷,1/2)上是一个增函数,则有f(x)的一个增区间是(0,1/2)
在(1/2,+无穷)上是一个减函数,则有f(x)的一个减区间是(1/2,1)

Answer 3

lg x的定义域是x>0
即x-x^2>0
求解0<x<1
则定义域是0<x<1

值域
在0<x<1中，x-x^2的值域是（0，正无穷）
那么
lg(x-x^2)的值域是R，全部实属

单调区间，可以用求导的方式，也可以不用
不用
lg(x)的单调情况是（0，正无穷）上单调递增的
x-x^2在(0,0.5]区间单调递增，
[0.5,1)区间单调递减
道理：
单调递增复合单调递增是单调递增，单调递减复合单调递增式单调递减，单调递减复合单调递减是单调递增
就这lg(x-x^2)
(0,0.5]区间单调递增，
[0.5,1)区间单调递减