Question

怎么证明 平面波满足亥姆霍兹方程 要详细过程？

Answer 1

平面波方程为：

Ex(x,y,z,t)=E0x*cos(Kx*x+Ky*y+Kz*z-w*t+theta)

Ey(x,y,z,t)=E0y*cos(Kx*x+Ky*y+Kz*z-w*t+theta)

Ez(x,y,z,t)=E0z*cos(Kx*x+Ky*y+Kz*z-w*t+theta)

其中(Kx,Ky,Kz)为K向量，代表波的传播方向，w是角频率，theta是初相位，E0是振动幅度。

Ex的Laplacian（拉普拉斯）算子为
dEx^2/dx^2+dEx^2/dy^2+dEx^2/dz^2= -(Kx^2+Ky^2+Kz^2)*Ex，

因此满足Laplacian(Ex)+K^2*Ex=0，其中K^2=Kx^2+Ky^2+Kz^2。

同理，可证Ey和Ez也满足上述方程，而且三个分量的K是同一个值，

因此，整个向量E满足 Laplacian(E)+K^2*E=0，即Helmholtz方程，证明完毕。