Question

(n→∞)lim(1-1/2²)(1-1/3²)...(1-1/n²)=? 求详解

Answer 1

注意由平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)
可以得到
1-1/2²=(1 -1/2)(1+1/2)=1/2 *3/2
1-1/3²=(1 -1/3)(1+1/3)=2/3 *4/3
1-1/4²=(1 -1/4)(1+1/4)=3/4 *5/4
……
以此类推
1-1/(n-1)²=(1 -1/n-1)(1+1/n-1)=(n-2)/(n-1) * n/(n-1)
1-1/n²=(1 -1/n)(1+1/n)=(n-1)/n *(n+1)/n

所以
(1-1/2²)(1-1/3²)...(1-1/n²)
=1/2 *3/2 *2/3 *4/3*3/4 *5/4 *……*(n-2)/(n-1) * n/(n-1) *(n-1)/n *(n+1)/n
=1/2 *(3/2 *2/3)*(4/3*3/4) *……* [n/(n-1) *(n-1)/n] *(n+1)/n
=(n+1)/2n
因此当n→∞时，(n+1)/2n趋于1/2，
所以极限值为1/2