Question

一个关于二阶导数的问题

设f(x)[a,b]上具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0,f'(a)f'(b)>0,证明存在ζ∈（a,b）,，η∈（a,b）,使得f‘(ζ)=0，f''(η)=0。

Answer 1

f'(a)f'(b)>0
不妨设f'(a)>0 f'(b)>0
f存在二阶导，那么f'(x)在(a.b)内连续
f'(a)>0，则存在e>0，任意x∈(a,a+e)内，f'(x)>0
那么在(a,a+e)内f(x)递增，不妨设a1∈(a,a+e)内，则f(a1)>f(a)=0
同理可以找到b1使得f(b1)<f(b)=0
那么就是[a1,b1]内f(x)一正一负，必存在一零点，设为c，f(c)=0
这样就找到f(a)=f(b)=f(c)=0，且a<c<b
用两次中值定理
存在ζ∈(a,c)，使得f'(ζ)=0
存在η∈(a,c)，使得f'(η)=0

追问

怎样用中值定理得出存在η∈(a,c)，使得f'(η)=0

追答

中值定理不就是
若存在a，b使得f(a)=f(b)，则存在η∈(a,b)，使得f'(η)=0
这样么

追问

额，原题写的是f''(η)=0不是f'(η)=0

追答

点太小看不到= =
那也就是多了一步
存在ζ1∈(a,c)，使得f'(ζ1)=0
存在ζ2∈(a,c)，使得f'(ζ2)=0
然后再用一次中值定理
存在η∈(ζ1,ζ2)，使得f''(η)=0