Question

已知椭圆x^2/2+y^2=1，设斜率为2的直线l与椭圆相交于不同的两点A,B，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上

已知椭圆x^2/2+y^2=1，设斜率为2的直线l与椭圆相交于不同的两点A,B，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，求y0的取值范围

Answer 1

解答:
椭圆方程x²/2+y²=1
即x²+2y²=2
设A(x1,y1),B(x2,y2)
设直线AB：y=2x+m,
与椭圆方程联立
∴ x²+2(2x+m)²=2
∴9x²+8mx+2m²-2=0
∵ AB与椭圆有两个交点，
∴ △=64m²-4*9*(2m²-2)>0
∴ 8m²-9(m²-1)>0
∴ m²<9
∴ -3<m<3 ①
由韦达定理 x1+x2=-8m/9, x1*x2=2(m²-1)/9
∴ 中点横坐标为-4m/9,
∴ 纵坐标为 y=2*(-4m/9)+m=m/9
∵ AB中垂线的斜率与AB的斜率成负倒数
∴ AB中垂线的斜率为-1/2
∴ AB中垂线的方程为y-m/9=(-1/2)(x+4m/9)
∵ Q(0,y0)在AB的中垂线上，
∴ y0-m/9=-2m/9
∴ y0=-m/9
∵ 由① -3<m<3
∴ y0∈(-1/3,1/3)
即y0的取值范围是(-1/3,1/3)