Question

如图,已知点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,并且AF平分∠EAD,求证,BE+DF=AE

不要用旋转 和CB延长 做-- 的其他方法

Answer 1

旋转的方法其实很好，你一定要用另外的方法，只好用坐标法了。

取坐标系A﹙0,0﹚ D﹙1,0﹚ B﹙0,1﹚ 设F﹙1,k﹚ √2-1＜k＜1   ﹙这是为了E在BC内部﹚

则，AF方程  y＝kx   AE方程  y＝﹙2k/﹙1-k²﹚﹚x   [这里是正切函数的倍角公式。]

得到E﹙﹙1-k²﹚/﹙2k﹚,1﹚

AE²＝[﹙1-k²﹚/﹙2k﹚]²+1²

﹙BE+CF﹚²＝[﹙1-k²﹚/﹙2k﹚+k]²＝[﹙1-k²﹚/﹙2k﹚]²+2k×﹙1-k²﹚/﹙2k﹚+k²

＝[﹙1-k²﹚/﹙2k﹚]²+1＝AE²

即     BE+DF=AE   [要是限定在初中知识，可能没有“别的”方法。]

Answer 2

三角函数方法行不行呢？
假设正方形的边长为a。由题目知：∠AEB=2∠DAF，令：∠AEB=p，∠DAF=q
tanp=a/BE=2tanq/(1-tanq^2)，而tanq=DF/a，所以：a/BE=2a*DF/(a^2-DF^2)
即：2BE*DF=a^2-DF^2，而a^2=AE^2-BE^2，所以AE^2-BE^2=DF^2+2BE*DF
即：AE^2=DF^2+2BE*DF+BE^2=(BE+DF)^2，所以AE=BE+DF，证毕。