Question

如图,在△ABC中,BE是它的角平分线,∠C=90°,D在AB边上,

如图,在△ABC中,BE是它的角平分线,∠C=90°,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E,交BC于点F．
已知∠A=30°，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积?

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Answer 1

∵∠A=30°，∠C=920°，∴∠ABC=60°，
∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠EBA=30°，
连接ED，BD为直径，∴DE=1/2AB=4，
∴BE=√3DE=4√3，CE=1/2BE=2√3，BC=√3CE=6，
∴SΔBCE=1/2BC*CE=6√3，
连接OE、OF，则∠EOF=2∠EBF=60°，
∴S扇形=1/6S⊙=1/6π*16=8π/3，
∵SΔEFO=SΔEFB(同底等高)，
∴S阴影=SΔBCE-S扇形OEF=6√3-8π/3。

Answer 2

解：（1）连接OE．
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠OBE=∠EBC
∴∠OEB=∠EBC
∴OE∥BC
∵∠C=90°
∴∠AEO=∠C=90°
∴AC是⊙O的切线；

（2）连接OF．
∵sinA=
1
2
，∴∠A=30°
∵⊙O的半径为4，∴AO=2OE=8，
∴AE=4
3
，∠AOE=60°，∴AB=12，
∴BC=
1
2
AB=6 AC=6
3
，
∴CE=AC-AE=2
3
．
∵OB=OF，∠ABC=60°，
∴△OBF是正三角形．
∴∠FOB=60°，CF=6-4=2，∴∠EOF=60°．
∴S梯形OECF=
1
2
（2+4）×2
3
=6
3
．
S扇形EOF=
60π×42
360
=
8
3
π
∴S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF=6
3
-
8
3 π．