Question

线性代数问题：设向量组a1,a2,....,as线性无关,向量b1可由它线性表示,而向量b2不能由它线性表示，证明

a1,a2,....,as,b1+b2是线性无关的

Answer 1

假设线性相关，那么存在不全为0的c1、c2、……cs、d使得：
c1a1+c2a2+.……+csas+d(b1+b2)=0
显然d不等于0，因为等于0，那么a......就线性相关了。
那么
b2＝(-c1a1-c2a2-……-csas-db1)/d
而b1又可以表示成a的线性组合。所以b2也可以表示为a的线性组合，与原命题矛盾。

Answer 2

由已知, b1+b2 不能由 a1,...,as 线性表示
而 a1,...,as 线性无关
所以 a1,...,as, b1+b2 线性无关