Question

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，CB∥OA，∠OCB=90°，CB=1，AB=更号5，直线y=-1/2x+1过A点与y轴交于D点。（1）求点A，点B的坐标；
（2）试说明：AD⊥BO；
（3）若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）当y=0时，-
1
2
x+1=0，

解得x=2，
∴点A的坐标是（2，0），
过点B作BF⊥AO，则四边形BCOF是矩形，
∴OF=BC=1，
∴AF=2-1=1，
∵AB=

5
，∴在Rt△ABF中，BF=

AB2-AF2
=

52-12
=2，

∴点B的坐标为（1，2）；

（2）当x=0时，y=-

1
2
×0+1=1，

∴点D的坐标为（0，1），
∴OD=BC=1，
根据（1）的结论，四边形BCOF是矩形，
∴OC=BF=2，
∴AO=OC=2，
在△AOD与△OBC中，
OD=BC∠AOD=∠OCB=90°AO=OC
，

∴△AOD≌△OBC（SAS），
∴∠OAD=∠COB，
∵∠COB+∠AOB=90°，
∴∠OAD+∠AOB=90°，
∴∠AEO=90°，
∴AD⊥BO；

（3）存在．
∵点N在x轴上，O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴BM∥x轴，且BM=ON，
根据（1），点B的坐标为（1，2），
∴-

1
2
x+1=2，

解得x=-2，
∴点M的坐标为（-2，2），
∴BM=1-（-2）=1+2=3，
①点N在点O的左边时，ON=BM=3，
∴点N的坐标为（-3，0），
②点N在点O的右边时，ON=BM=3，
∴点N的坐标为（3，0），
③作N（-3，0）关于A对称的点N′，则N′也符合，
点N′的坐标是（7，0），
综上所述，点N的坐标为（-3，0）或（3，0）或（7，0）．

Answer 2

            ∴AD⊥BO；

 

Answer 3

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