Question

如图,△ABC是等边三角形,点D是AC边的中点,延长BC边至点E,使CE=CD，取BE中点为点F，连接DF，求证：DF垂直BE

Answer 1

设ABC边长为4,则CE为2；（因D为中点，CE=CD=2）。又因F为BE中点，则FC为1；（因BC+CE=4+2=6；F为中点，BF=FE=3，FC=FE-CE=3-2=1）所以△DCF是60度角夹两边，边长分别为1和2。如果它是直角三角形cos60=1/2,和事实相符。

Answer 2

证取BC中点M，连接DM，则△DMC为等边三角形
∵CE=CD
∴BE=BC+CE=3BC/2
又∵F为BE中点
∴FE=BE/2=3BC/4
∴CF=FE-CE=3BC/4-BC/2=BC/4
而CM=BC/2
∴F为CM中点
∴DF为等边三角形DMC的MC边上的中垂线
∴DF⊥BE

Answer 3

连接BD，
∠DBE=60/2=30
CD=CD ∠E=∠CDE
∠ACB=∠E+∠CDE
∠E=60/3=30
∠E=∠DBE
△DBE为等腰三角形，F为等腰三角形底边中点
故DF⊥BE