Question

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Answer 1

（1）设圆方程为(x-p)^2+y^2=r^2
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则p=(x1+x2)/2
对于过A,B,C三点的抛物线y=x^2-mx+n
有方程x^2-mx+n=0的两根倒数和为-2 ，则此两根刚好为A,B的横坐标
∴有x1+x2=m, x1x2=n
1/x1+1/x2=(x1+x2)/(x1x2)=m/n=-2
=> m=-2n 且p=(x1+x2)/2=m/2=-n
由抛物线知，x=0时，y=n，即C=C(0,n)
又C点同时在圆上，∴有 p^2+n^2=2n^2=r^2
而r^2=(AB/2)^2=|x1-x2|^2/4=1/4*[(x1+x2)^2-4x1x2]
=1/4*[m^2-4n]=1/4*[4n^2-4n]=n^2-n
∴有 2n^2=n^2-n => n=-1
（2）由n=-1 可得m=-2n=2
∴抛物线方程为 y=x^2-mx+n=x^2-2x-1
（3）设直线y=c与x轴平行，交抛物线于E,F
则依题意，有EF中点（即圆心）到x轴距离为|c|，且有|EF|=2|c|
将y=c代入抛物线得 x^2-2x-1-c=0
可得x1+x2=2, x1x2=-1-c
∴ |EF|^2=|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2
=2^2-4(-1-c)=8+4c
=4|c|^2=4c^2
=> c^2-c-2=0
解得c=-1,或c=2
∴以EF为直径的圆存在，且其半径为r=|c|=1或2

Answer 2

(1)n=-1
(2)y=x^2-2x-1
(3)r=1