Question

如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于E，BF平行DE

如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形边长为3，求点F′与旋转前的图中点E之间的距离．

Answer 1

解：
∵BF∥DE　　DE⊥AG
∴BF⊥AG（两直线平行，内错角相等）
∵BA⊥AD BF⊥AF
∴∠ABF＝∠DAE（一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等）
∴Rt△ABF≌Rt△DAE（斜边、锐角）
△ABF绕点A逆时针旋转90°后，AB落在AD上，F点在正方形外，与A、E、D构成一个矩形AEDF′
此时F′点与旋转前的图中点E的长就是旋转后矩形的对角线EF′的长
在矩形AEDF′中
EF′＝AD＝3（矩形的对角线相等）
∴所求的点F′与旋转前的图中点E之间的距离等于3

Answer 2

解：
∵BF∥DE　　DE⊥AG
∴BF⊥AG（两直线平行，内错角相等）
∵BA⊥AD BF⊥AF
∴∠ABF＝∠DAE（一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等）
∴Rt△ABF≌Rt△DAE（斜边、锐角）
△ABF绕点A逆时针旋转90°后，AB落在AD上，F点在正方形外，与A、E、D构成一个矩形AEDF′
此时F′点与旋转前的图中点E的长就是旋转后矩形的对角线EF′的长
在矩形AEDF′中
EF′＝AD＝3（矩形的对角线相等）
∴所求的点F′与旋转前的图中点E之间的距离等于3

Answer 3

（1）证明：如图，∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=∠BAG+∠EAD=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
又∵BF∥DE，
∴∠AFB=∠AED=90°，
在△AED和△BFA中，
∵∠AED=∠AFB∠ADE=∠BAFAD=AB​，
∴△AED≌△BFA（AAS），
∴BF=AE，
∵AF-AE=EF，
∴AF-BF=EF；

（2）解：如图，将△ABF绕A点旋转到△ADF′，使B与D重合，连接F′E，
根据题意知：∠FAF′=90°，DE=AF′=AF，
∴∠F′AE=∠AED=90°，即∠F′AE+∠AED=180°，
∴AF′∥ED，
∴四边形AEDF′为平行四边形，又∠AED=90°，
∴四边形AEDF′是矩形，
∴EF′=AD=3

Answer 4

距离是3.
旋转完AEDF′是一个矩形，矩形对角线相等，所以AD=EF′。