Question

在三角形ABC中,D为BC的中点,已知AB=向量a,AC=向量b,（1）试用向量a，向量b表示向量AD。

（1）试用向量a，向量b表示向量AD。（2）若点G是三角形ABC的重心，能否用向量a，向量b表示向量AG。（3）若点G是三角形ABC的重心，那么向量GA+向量GB+向量GC=.

Answer 1

（1）因为 D 为 BC 的中点，所以 BD+CD=0 ，
由于 AD=AB+BD ，AD=AC+CD ，
两式相加得 2AD=AB+AC ，
所以 AD=1/2*(AB+AC)=a/2+b/2 。
（2）因为 G 是三角形的重心，因此 G 在 AD 上，且 AG=2/3*AD ，
所以 AG=a/3+b/3 。
（3）由（2）得 GA= -1/3*(AB+AC) ，
同理可得 GB= -1/3*(BA+BC) ，GC= -1/3*(CA+CB) ，
三式相加得 GA+GB+GC= -1/3*(AB+AC+BA+BC+CA+CB)= 0 (向量) 。