Question

设f(1/x)=x+根号1+x^2,则f(x),详细解释

Answer 1

f(1/x)=x+√(1+x²)

令t=1/x(t≠0)

则x=1/t

所以f(t)=1/t+√(1+(1/t)²)=1/t+√(1+1/t²)=1/t+√(1+t²)/|t|

所以f(x)=1/x+√(1+x²)/|x|(x≠0)

性质

一个平方数是两个相邻三角形数之和。两个相邻平方数之和为一个中心正方形数。所有的奇数平方数同时也是中心八边形数。

四平方和定理说明所有正整数均可表示为最多四个平方数的和。特别的，三个平方数之和不能表示形如 4k(8m + 7) 的数。若一个正整数可以表示因子中没有形如 4k + 3 的素数的奇次方，则它可以表示成两个平方数之和。

一个平方数是两个相邻三角形数之和。两个相邻平方数之和为一个中心正方形数。所有的奇数平方数同时也是中心八边形数。

Answer 2

f(1/x)=x+√(1+x²)
令t=1/x(t≠0)
则x=1/t
所以f(t)=1/t+√(1+(1/t)²)=1/t+√(1+1/t²)=1/t+√(1+t²)/|t|
所以f(x)=1/x+√(1+x²)/|x|(x≠0)

Answer 3

f(1/x)=x+√(1+x^2)
令t=1/x
x=1/t代入f(1/x)中
f(t)=1/t+√(1+(1/t)^2
=1/t+√((1+t^2)/t^2)
令t=x
则f(x)=1/x+√[(1+x^2)/x^2]

Answer 4

f(1/x)=x+√(1+x^2)

把函数自变量x,都配成1/x形式：
f(1/x)=1/(1/x)+√[1+1/(1/x^2)]

x转换1/x,得
f(x)=1/x+√[1+1/x^2]=1/x+[√(1+x^2)]/|x|