Question

求一道线性代数的题。设向量组α1，α2，....αn线性无关，讨论向量组β1，β2...βn的线性相关性

设向量组α1，α2，....αn线性无关，讨论向量组β1，β2...βn的线性相关性，其中β1=α1+α2. β2=α2+α3....βn-1=αn-1+α1，βn=αn+α1。

Answer 1

由已知 (β1，β2...βn) = (α1，α2，....αn) K
K =
1 0 0...1
1 1 0... 0
0 1 1...0
......
0 0 0...1
因为 α1，α2，....αn 线性无关
所以 r(β1，β2...βn) = r(K)
因为 |K| = 1 + (-1)^(n-1).
所以 n为偶数时, |K|=0, r(β1，β2...βn)=r(K)<n, 故 β1，β2...βn 线性相关
n为奇数时, |K|=2≠0, r(β1，β2...βn)=r(K)=n, 故 β1，β2...βn 线性无关.

Answer 2

当 n=2m 时，
β1 - β2 + β3 - β4 + ... + β(2m-1) - β2m
= (α1+α2) -(α2+α3) + (α3+α4) - (α4+α5) + ... + (α(2m-1)+α2m) - (α2m+α1)

= 0
所以 向量组β1，β2...βn的线性相关
当 n=2m + 1 时，
β1 - β2 + β3 - β4 + ... + β(2m-1) - β2m + β(2m+1)
= (α1+α2) -(α2+α3) + (α3+α4) - (α4+α5) + ... + (α(2m-1)+α2m) - (α2m+α（2m+1))+(α(2m+1)+α1)
= 2α1
===> α1 能被向量组β1，β2...βn线性表示出来，
于是
α2=β1- α1 也能被向量组β1，β2...βn线性表示出来，
α3=β2- α2 也能被向量组β1，β2...βn线性表示出来，
.。。。
αn=β(n-1)- α(n-1) 也能被向量组β1，β2...βn线性表示出来，
所以 n>=向量组β1，β2...βn的秩 >= 向量组α1，α2，....αn的秩=n
===> 向量组β1，β2...βn的线性无关

Answer 3

设A= (α1 , α2 ……αn )T B= (β1 , β2 ……βn )T
C=（1 1 …… 0
0 1 1…… 0
0 0 1 1……0
. ……
0 0 0 0 …1 1
1 0 0 0 …0 1）
由题意，B= CA
两端取行列式|B|=|C||A|
∵α1 , α2 ……αn线性无关，|A|≠0
将C按第一列展开，得|C|=1+(-1)n+1
∴当n为偶数时，|C|=0，|B|=0，β1 , β2 ……βn线性相关
当n为奇数时，|C≠0，|B|≠0，β1 , β2 ……βn线性无关

Answer 4

n是偶数的话应该相关，因为β1 - β2 + β3 - β4 + ... + βn-1 - βn = 0,
否则应该是不相关吧

追问

不懂。。。我只求过程。。。

追答

上面的就是过程了，n是偶数可以表示成线性表达式啊，就是βn = β1 - β2 + ... + βn-1,

n是奇数不能表示成线性相关的形式