Question

如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1.点D是边AB上的任意一点，AE⊥AB，且AE=BD，DE与AC相交于点F.

（1）求证：△AEC≌△BDC；
（2）判断△CDE的形状，并证明你的结论.

Answer 1

(1).证：
△ABC中，∠ACB=90°，则有：∠CBD+∠BAC=90゜；
AE⊥AB，则有：∠CAE+∠BAC=90゜；
从而有：∠CBD=∠CAE
又：AC=BC，AE=BD
由两边夹角分别对应相等，有：
△AEC≌△BDC。
证毕。
(2).△CDE为等腰直角三角形。
证：由(1)△AEC≌△BDC，有
CE=CD，且
∠ACE=∠BCD，从而有
∠DCE=∠ACE+∠DCA=∠BCD+∠DCA=∠ACB=90°
故：△CDE为等腰Rt△。
证毕。

Answer 2

（1）∵AE⊥AB
∴∠EAC+∠CAB=90°
而∠CBD+∠CAB =90°
∴∠EAC=∠CBD
而AE=BD，AC=BC
∴△AEC≌△BDC
（2）△ECD为等腰直角三角形，理由如下：
∵△AEC≌△BDC
∴CE=CD，∠ECA=∠DCB
∴∠ECD=∠ECA+∠ACD=∠DCB+∠ACD=90°
∴△ECD为等腰直角三角形