Question

高中数学。谢谢。已知曲线C:x^2+y^2-2ax-2(a-1)y-1+2a=0

已知曲线C:x^2+y^2-2ax-2(a-1)y-1+2a=0

(1)证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；

（2）当a≠1时，若曲线C与直线y=2x-1相切，求a的值；
（3）对所有的a∈R且a≠1，是否存在直线l与曲线C总相切？如果存在，求出l的方程；若果不存在，请说明理由

以下是网友答案：
（1） 曲线C：(x-a)^2 + [y-(a-1)]^2=2(a-1)^2，令等式右端等于零，则a=1,(x-1)^2 + y^2=0
∴x=1,y=0，曲线C恒过点(1,0).
（2） 圆心(a,a-1)到直线y=2x-1的距离为√2 |a-1|，则|2a-(a-1)-1|/√2^2 + (-1)^2 =√2 |a-1|.
∴a=(10+√10)/9 或 (10-√10)/9.
（3） 若存在l与C总相切，则 l 必过点(1,0)，切点为(1,0)，直线方程可设为y=k(x-1).
等式两端同时对x求导，2x+2yy^(1)-2a-2(a-1)y^(1)=0,(y^(1)为y的一阶导数，是切线的斜率k)
代入切点坐标，整理得：1+k=a(1+k). ∵a≠1，∴k+1=0,k=-1.
∴直线l的方程为：x+y-1=0.

令我不解的是：第一问求过定点为什么要令等式右端等于零，然后得到了a=1,(x-1)^2 + y^2=0
∴x=1,y=0，曲线C恒过点(1,0) ？？？不能理解呀
第三问 等式两端同时对x求导，2x+2yy^(1)-2a-2(a-1)y^(1)=0,(y^(1)为y的一阶导数，是切线的斜率k)
代入切点坐标，整理得：1+k=a(1+k). ∵a≠1，∴k+1=0,k=-1. 什么等式两端同时对x求导，那个等式，怎么求的呀，,(y^(1)为y的一阶导数，是切线的斜率k)又是什么意思？

Answer 1

1、求曲线过定点一般有下列方法
（1）、分离变量，把式子x^2+y^2-2ax-2(a-1)y-1+2a=0中按参数a来整理
x^2+y^2-2ax-2ay+2y-1+2a=0即x^2+y^2+2y-1=(2x+2y-2)a
上式过定点，说明定点与a的取值无关，所以 只有x^2+y^2+2y-1=0且2x+2y-2=0
所以 x=1,y=0
(2)、先找定点，再证明所找的点确实是定点,即然曲线过定点，所以对任何a的取值曲线都会过定点，于是
取a=0得x^2+y^2-2y-1=0
取a=1得x^2+y^2-2x+1=0
所以解得：x=1,y=0
再把点（1，0）代入曲线x^2+y^2-2ax-2(a-1)y-1+2a=0中，左边=右边，所以点（1，0）是所求的定点

令你不解的是：第一问求过定点为什么要令等式右端等于零，不可以令等式右端等于零
，而可以令a=1
2、曲线对y求一阶导数，就是该曲线的切线的斜率，对x^2+y^2-2ax-2(a-1)y-1+2a=0求导的结果就是2x+2yy`-2a-2(a-1)y`=0
这句你懂吗：若存在l与C总相切，则 l 必过点(1,0)，切点为(1,0)，

Answer 2

1.应为左右两边恒相等，而右边和x，y无关，故两边都得=0
2.当然是原方程两端对x求导啊，高中没学过求导吗？？没学过的话你可以用代数法求解，就是设出直线方程然后由圆心到直线距离=半径来求解