Question

定积分求面积和体积

Answer 1

积分面积公式：
∫（1，e）lnxdx
分部积分法
=[xlnx]（1，e）-∫（1，e）xd（lnx）
=（e-0）-∫（1，e）dx
=e-（e-1）
=e-e+1
=1

体积：

体积公式
V=πe²-∫（0，1）π（lnx）²dx
=πe²-π[x(lnx)²（0，1）-∫（0，1）xd（lnx）²
=πe²-π[0-∫（0，1）2xlnx（1/x)dx
=πe²+2π∫（0，1）lnxdx
=πe²+2π[(xlnx)(0,1)-∫（0，1）x（1/x)dx]
=πe²+2π（0-1）
=πe²-2π

如有不明白，可以追问
如有帮助，记得采纳，谢谢
祝学习进步！

追问

您好，感谢您回答这么多！求面积我是看明白了，但是体积还有诸多疑问。一个是您的答案和后面的答案不一样。另一个是，为什么是πe²减去呢？πe²代表了什么？

追答

我第2求体积的第2部分写错了，被积函数写错了

y=lnx

x=e^y

是对y进行积分
所以被积分函数是e^y

这个题目的求法是用长是e，宽是1的正方形旋转成的体积，减去曲线和y轴围成的体积

πe²就是长是e，宽是1的正方形旋转成的体积

∫（0，1）π（e^y）²dy 就是曲线和y轴围成的体积

然后联立就可以了

V=πe²-∫（0，1）π（e^y)²dy
=πe²-π/2[e^2y](0,1)
=πe²-π/2e²+π/2
=π/2(e²+1）

如有不明白，可以追问

Answer 2

你那个式子积分的结果是 xlnx-x +c 用（1，e）代入是（ex1-e）-(0-1)=1
体积的求法是把阴影部分划分成很多细条，求每条旋转后的体积 对 πln²x dx 定积分，范围还是1到e 结果是π（xln²x-2xlnx+2）,还是代入e,减代入1的方法。π（e+2）
建议你背一下公式，否则寸步难行

Answer 3

定积分∫[1,e]lnxdx
=(xlnx-x)|[1,e]
=elne - e - (1ln1 - 1)
=e-e-(-1)
=1
所以所围面积为1