Question

为什么实对称矩阵相似一定合同？而一般的矩阵却不一定？

两个矩阵相似，那他们的特征值相同，那正负惯性指数一定相同，为什么不一定合同呢，而非要实对称才可以？这个问题困惑我很久，期待高手解答！

Answer 1

T'AT=diag{x1,x2,...,xn}（x1,...,xn为A的特征值）
Q'BQ=diag{y1,y2,...,yn}（y1,...,yn为B的特征值）
由于A和B相似，故可令xi=yi
=>T'AT=Q'BQ（T和Q均为正交阵）
=>(Q')^(-1)T'ATQ^(-1)=[TQ^(-1)]'ATQ^(-1)=B
令C=TQ^(-1)则C可逆，故A=C'BC，A合同于B

至于第二个问题……楼主，合同是对二次型来说的啊，二次型不对称不行啊！

追问

最后一行是不是写错了，应该是A=CBC‘吧。关于合同的定义，书上没说必须是实对称啊，只是在二次形那部分引出而已。这是我今天在其他地方看到的，应该解释的通我的问题: 一旦将相似和合同联系在一起，往往默认 矩阵是实对称的，此时，两者等价，且可 用正负惯性指数（此时分别等于正负特征 值重数之和）衡量合同性。而在非对称矩 阵情形下，不能用正负惯性指数判别合同 性，且相似合同无直接联系

追答

呃……别把自己弄糊涂就行。