Question

请问这道题怎么做？（大一高数）马上考试了，求大神帮帮忙，谢谢了。

设抛物线y^2=2x与y=x-4 围成一块平面图形D，求D的面积。

Answer 1

把y=x-4代入抛物线方程得
(x-4)^2=2x
x^2-8x+16=2x
x^2-10x+16=0
(x-8)(x-2)=0
x=2 x=8 w代入y=x-4得
y=-2 y=4

y=x-4
x=y+4

y^2=2x
x=y^2/2

当-2<y<4时
y^2/2 -(y+4)
=y^2/2-y-4
=1/2(y^2-2y+1)-4-1/2
=1/2(y-1)^2-9/2<0
y^2/2<y+4

S=∫(-2->4) (y+4-y^2/2)dy
=∫(-2->4)ydy +∫(-2->4)4dy-1/2∫(-2->4)y^2dy
=y^2/2 |(-2->4) +4y|(-2->4) -y^3/6 |(-2->4)
=(16/2-4/2) +4(4-(-2))-1/6(4^3-(-2)^3)
=6+24-12
=18

追问

请问这一步S=∫(-2->4) (y+4-y^2/2)dy怎么来的

追答

在Y轴上
当 -2<y<4时
函数 y+4图像在 函数y^2/2图像的X轴正方向的右边
即就是说
当-2<y<4时
x=y+4在y轴的面积 减去 x=y^2/2在y轴的面积