Question

线性代数中为何|AA*|=||A|E|?

设A为n阶矩阵(n³2), A*为A的伴随阵, 证明
.
证明 当R(A)=n时, |A|¹0, 故有
|AA*|=||A|E|=|A|¹0, |A*|¹0,
所以R(A*)=n.

Answer 1

AA* = |A|E
这是伴随矩阵满足的基本公式
两边取行列式 |AA*| = ||A|E|
即有 |A||A*| = |A|^n
R(A)=n时 |A|≠0
故有 |A*| = |A|^(n-1).

Answer 2

AA*=|A|E这是常识
若R(A)=n时，R(AA*)=R(A*)=R(|A|E)=n