Question

设函数f(x)可导，F（x）=f(x)(1+|x|),则f（0）=0是F'（x）存在的（什么条件）

怎么证是充分必要条件？

Answer 1

充要条件。
从左导数和右导数考虑（即求导时的左极限和右极限）

当x不为0时，F(x)是两个可导函数的乘积，故可导。所以只用考虑x=0的情况。

F(x)在0的左导数等于f(x)(1-x)的左导数，而后者可以直接求导，所以
F'-(0) = f'(0)(1-0) - f(0) = f'(x) - f(0)

同理，F(x)在0的右导数等于f(x)(1+x)的右导数，所以
F'+(0) = f'(0)(1+0) + f(0) = f'(0) + f(0)

可导要求左右导数相等，所以可导当且仅当f(0) = 0

Answer 2

供参考

所以是充分必要条件。

Answer 3

证明：
去掉绝对值符号后，函数f(x)化简得
F（x）=f(x)-xf(x)，（x＜0）；

F（x）=f(x)，（x=0）；

F（x）=f(x)+xf(x)，（x>0）

1°.f（0）=0是F'（x）存在的充分条件
因为函数f(x)可导，所以
（I）当x>0时，F‘（x）=f'(x)+f(x)+xf’(x)；

（II）当x＜0时，F（x）=f'(x)-f(x)-xf’(x)；

（III）当x=0时，

下面讨论F（x）在x=0处的可导情况：
因为
lim(x-->0﹣，F（x）)=lim(x-->0﹣，f(x)-xf(x))=f(0﹣)-0*f(0﹣)=f(0)=F（0）；
lim(x-->0﹢，F（x）)=lim(x-->0﹢，f(x)+xf(x))=f(0﹢)-0*f(0﹢)=f(0)=F（0）；
所以lim(x-->0﹣，F（x）)=lim(x-->0﹢，F（x）)=F（0），
即函数F（x）在x=0处连续。

因为
F'(0﹣)

=lim(x-->0﹣，[F(x)-F(0)]/(x-0)）
=lim(x-->0﹣，[f(x)-xf(x)-f(0)]/(x-0)）
=lim(x-->0﹣，-f(x))+lim(x-->0﹣，[f(x)-f(0)]/(x-0)）
=-f(0﹣)+f’(0﹣)
=-f(0)+f’(0)
=-0+f’(0)
=f’(0)

F'(0﹢)
=lim(x-->0﹢，[F(x)-F(0)]/(x-0)）
=lim(x-->0﹢，[f(x)+xf(x)-f(0)]/(x-0)）
=lim(x-->0﹢，f(x))+lim（x-->0﹢，[f(x)-f(0)]/(x-0)）
=f(0﹢)+f’(0﹢)
=f(0)+f’(0)
=0+f’(0)
=f’(0)

所以F'(0﹣)=F'(0﹢)，即函数F（x）在x=0处可导，
综上，当f（0）=0时，F'（x）皆存在。

2°.f（0）=0是F'（x）存在的必要条件
因为F'（x）存在，所以函数F（x）在x=0处可导，
所以函数F（x）在x=0处连续，且F'(0﹣)=F'(0﹢)。

因为
F'(0﹣)
=lim(x-->0﹣，[F(x)-F(0)]/(x-0)）
=lim(x-->0﹣，[f(x)-xf(x)-f(0)]/(x-0)）
=lim(x-->0﹣，-f(x))+lim(x-->0﹣，[f(x)-f(0)]/(x-0)）
=-f(0﹣)+f’(0﹣)
=-f(0)+f’(0)

F'(0﹢)
=lim(x-->0﹢，[F(x)-F(0)]/(x-0)）
=lim(x-->0﹢，[f(x)+xf(x)-f(0)]/(x-0)）
=lim(x-->0﹢，f(x))+lim（x-->0﹢，[f(x)-f(0)]/(x-0)）
=f(0﹢)+f’(0﹢)
=f(0)+f’(0)

所以-f(0)+f’(0)=f(0)+f’(0)，
所以f(0)=0，
即若F'（x）存在，则f（0）=0。

综合1°和2°，
若函数f(x)可导，F（x）=f(x)(1+|x|),则f（0）=0是F'（x）存在的充要条件。
（证毕）