Question

二维随机变量（X，Y）在（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域均匀分布，求cov（X，Y） ρXY

Answer 1

cov(X,Y)= -1/36，ρXY= -1/2，下面是过程。

（1）在三角形内，因为密度均匀，所以概率密度函数p(X,Y)=1/该三角形面积=1/(1/2)=2。

（2）计算E(X)，E(X^2)，E(Y)，E(Y^2)，D(X)和D(Y)。

E(X)=积分X(0到1) 积分Y(0到1-x) x*p(x,y) dydx=积分X(0到1) x(1-x)*2 dx=(x^2-2/3*x^3)|(0,1)=1/3。

E(X^2)=积分X(0到1) 积分Y(0到1-x) x^2*p(x,y) dydx=积分X(0到1) x^2*(1-x)*2 dx=(2/3*x^3-1/2*x^4)|(0,1)=1/6。

因为X,Y对称，所以E(Y)=1/3，E(Y^2)=1/6。

所以D(X)=E(X^2)-E(X)*E(X)=1/6-1/3*1/3=1/18，同理D(Y)=1/18。

（3）E(XY)=积分X(0到1) 积分Y(0到1-x) xy*p(x,y)dydx=积分X(0到1) x(1-x)^2 dx=(1/2*x^2-2/3*x^3+1/4*x^4)|(0,1)=1/12。

（4）所以，根据定义：

COV(X,Y)=E(XY)-E(X)*E(Y)=1/12-1/3*1/3= -1/36。

ρXY=COV(X,Y)/(根号D(X)*根号D(Y))=-1/36/(1/18)= -1/2。

Answer 2

太长了不好打。根据二维随机变量期望的定义先求E(X)=E(Y)1/3和E(XY)=1/12再套协方差公式可解。COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-1/36再求下D(X)=E(X²)-E²(X),D(Y)=E(Y²)-E²(Y)套相关系数公式可解。数学符号太难打楼主自己写吧。提示下E(Z)=∫(0~1)dx∫(0~-x+1)2Zdy,要求E(X)就把上试Z换成X,同理E(Y),E(XY),E(X²),E(Y²)