求 f(x,y)=x^2+xy+y^2在D={(x,y) x^2+y^2<=1}中的最大值,最小值?

愿为学子效劳
2013-01-08 · TA获得超过9841个赞
知道大有可为答主
回答量:1688
采纳率:100%
帮助的人:734万
展开全部
因(x+y)^2≥0
即x^2+y^2+2xy≥0
即xy≥-1/2(x^2+y^2)

因(x-y)^2≥0
即x^2+y^2-2xy≥0
即xy≤1/2(x^2+y^2)

于是-1/2(x^2+y^2)≤xy≤1/2(x^2+y^2)
所以-3/2(x^2+y^2)≤x^2+xy+y^2≤3/2(x^2+y^2)
即-3/2(x^2+y^2)≤f(x,y)≤3/2(x^2+y^2)

因x^2+y^2≤1
则3/2(x^2+y^2)≤3/2
又-(x^2+y^2)≥-1
则-3/2(x^2+y^2)≥-3/2
所以-3/2≤-3/2(x^2+y^2)≤f(x,y)≤3/2(x^2+y^2)≤3/2
即f(x,y)min=-3/2
f(x,y)max=3/2
追问
不好意思,第八行算错了吧?
所以1/2(x^2+y^2)≤x^2+xy+y^2≤3/2(x^2+y^2)

最后是不是应该为
f(x,y)min=1/2
f(x,y)max=3/2
呢?

你的计算方法技巧性很好,但是似乎没有用到“高等数学”的方法啊,能不能再指点一二?
追答
哦哦,是的,有点小问题。正确解法如下:
(1)先求最大值
因(x-y)^2≥0
即xy≤1/2(x^2+y^2)(基本不等式)
则x^2+xy+y^2≤3/2(x^2+y^2)
而x^2+y^2≤1
所以x^2+xy+y^2≤3/2
即f(x,y)max=3/2

(2)再求最小值
因(x-y)^2≥0
即x^2+y^2≥2xy(基本不等式)
则x^2+xy+y^2≥3xy(I)

因(x+y)^2≥0
即xy≥-1/2(x^2+y^2)
而x^2+y^2≤1
即-1/2(x^2+y^2)≥-1/2
则xy≥-1/2(x^2+y^2)≥-1/2
即xy≥-1/2(II)

由(I)(II)知x^2+xy+y^2≥-3/2
即f(x,y)min=-3/2
高艳高艳
2013-01-08
知道答主
回答量:21
采纳率:0%
帮助的人:5万
展开全部
令X=rcos(t);y=rsin(t);r小于等于1.角度t为0到360°。然后带回F
追问
带回去出现 f(x,y)=r^2(1+costsint)
然后呢?
已赞过 已踩过<
你对这个回答的评价是?
评论 收起
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式