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求 f(x,y)=x^2+xy+y^2在D={(x,y) x^2+y^2<=1}中的最大值,最小值?
2个回答
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因(x+y)^2≥0
即x^2+y^2+2xy≥0
即xy≥-1/2(x^2+y^2)
因(x-y)^2≥0
即x^2+y^2-2xy≥0
即xy≤1/2(x^2+y^2)
于是-1/2(x^2+y^2)≤xy≤1/2(x^2+y^2)
所以-3/2(x^2+y^2)≤x^2+xy+y^2≤3/2(x^2+y^2)
即-3/2(x^2+y^2)≤f(x,y)≤3/2(x^2+y^2)
因x^2+y^2≤1
则3/2(x^2+y^2)≤3/2
又-(x^2+y^2)≥-1
则-3/2(x^2+y^2)≥-3/2
所以-3/2≤-3/2(x^2+y^2)≤f(x,y)≤3/2(x^2+y^2)≤3/2
即f(x,y)min=-3/2
f(x,y)max=3/2
即x^2+y^2+2xy≥0
即xy≥-1/2(x^2+y^2)
因(x-y)^2≥0
即x^2+y^2-2xy≥0
即xy≤1/2(x^2+y^2)
于是-1/2(x^2+y^2)≤xy≤1/2(x^2+y^2)
所以-3/2(x^2+y^2)≤x^2+xy+y^2≤3/2(x^2+y^2)
即-3/2(x^2+y^2)≤f(x,y)≤3/2(x^2+y^2)
因x^2+y^2≤1
则3/2(x^2+y^2)≤3/2
又-(x^2+y^2)≥-1
则-3/2(x^2+y^2)≥-3/2
所以-3/2≤-3/2(x^2+y^2)≤f(x,y)≤3/2(x^2+y^2)≤3/2
即f(x,y)min=-3/2
f(x,y)max=3/2
追问
不好意思,第八行算错了吧?
所以1/2(x^2+y^2)≤x^2+xy+y^2≤3/2(x^2+y^2)
最后是不是应该为
f(x,y)min=1/2
f(x,y)max=3/2
呢?
你的计算方法技巧性很好,但是似乎没有用到“高等数学”的方法啊,能不能再指点一二?
追答
哦哦,是的,有点小问题。正确解法如下:
(1)先求最大值
因(x-y)^2≥0
即xy≤1/2(x^2+y^2)(基本不等式)
则x^2+xy+y^2≤3/2(x^2+y^2)
而x^2+y^2≤1
所以x^2+xy+y^2≤3/2
即f(x,y)max=3/2
(2)再求最小值
因(x-y)^2≥0
即x^2+y^2≥2xy(基本不等式)
则x^2+xy+y^2≥3xy(I)
因(x+y)^2≥0
即xy≥-1/2(x^2+y^2)
而x^2+y^2≤1
即-1/2(x^2+y^2)≥-1/2
则xy≥-1/2(x^2+y^2)≥-1/2
即xy≥-1/2(II)
由(I)(II)知x^2+xy+y^2≥-3/2
即f(x,y)min=-3/2
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