Question

统计学问题

1、各变量值对某任意数的方差为500，而这个任意数与变量平均数之差为12，求变量的方差
2、各变量值的平均数为80，标准差系数为50%，求各变量值对50的方差
要求过程详细，谢谢

Answer 1

因为方差是左右偏离型函数

例如 (x-a)^2 与(x-a-12)^2与（x-a+12）^2
相同量为x2+a2-2ax 差量为 0 144-24（x-a） 144+24（x-a）
可知 由于对称 差量变化抵消
余量为 均差12的平方的2倍
再由总方差为500
288+200+8+2+2=500
则变量方差为500+288*5=1940

不知道对不对。。

追问

那第二题呢？第二题做出来就行了

Answer 2

a为任意数，可推导出：

E((X-a)^2)
=E(((X-E(X))+(E(X)-a))^2)
=E((X-E(X))^2)+(E(X)-a)^2+2*E(X-E(X))*(E(X)-a)
=E((X-E(X))^2)+(E(X)-a)^2+2*0*(E(X)-a)
=D(X)+(E(X)-a)^2。

也就是说，变量对某个数的方差，等于变量自身的方差，加上这个数和期望值距离的平方。也说明了一个重要的统计学事实，用E(X)来做为对X的一个常数估计，是方差最小的估计，任何其他的常数估计，方差都只会更大（因为(E(X)-a)^2是非负的）。这条原则，被广泛地运用于人们的生活之中。

（1）E((X-a)^2)=500，E(X)-a=12，所以
D(X)=E((X-a)^2)-(E(X)-a)^2=500-12^2=500-144=356。

（2）sigma=50% x 80=40，故D(X)=40^2=1600。
E((X-a)^2)=D(X)+(E(X)-a)^2=1600+(80-50)^2=1600+30^2=1600+900=2500。