Question

在抛物线y的平方＝4x上求一点p，使得点p到直线y＝x+3的距离最短

Answer 1

平移y=x+3至直线y=x+m的位置

此时直线y=x+m与抛物线只有一个交点，这个交点即为所求

求这个交点：

将y=x+m代入方程：y的平方=4x

得（x+m）^2=4x

化简成一元二次方程，令跟的判别式=0，得m=1

将m=1代入（x+m）^2=4x

解得x=1,代入y的平方=4x

得y=2

所以点为(1,2)

追问

y=x+3哪去了

追答

平移y=x+3直到与抛物线相切位置，此时的切点一定到直线y=x+3距离最短的点，如图所示

Answer 2

这道题的方法很多，下面给你讲述一种比较简单的方法
解：
要使y^2=4x的一点p，使得点p到直线y＝x+3的距离最短
则在y^2=4x的的点p的斜率必定和y＝x+3的斜率相等
则p的斜率为1
对y^2=4x两边同时求导
得：2yy'=4
得：y'=2/y=±1/x
又p的斜率为3所以y‘=±1/x=
得:x=1,y=±2显然y=-2不可能
所以p的坐标为（1，2）

Answer 3

即在抛物线上找到与直线斜率相同的一点x`=y/2=1 得y=2，带入得x=1
所以点P为（1,2）