Question

设函数f(x)=ax²+bx+c(a＞0),且f(1)=-a/2

设函数f(x)=ax²+bx+c(a＞0),且f(1)=-a/2
(1).求证函数f(x)有两个零点。(2).设x1,x2是函数f(x)的两个零点，求x1-x2绝对值的取值范围。(3).求证：函数f(x)在(0，2)内至少有一个零点
是求x1-x2这个整体绝对值的取值范围

Answer 1

1)因为a>0, 即开口向上。又因f(1)=-a/2<0, 所以函数有2个不同零点，1个大于1，另一个小于1.

2）f(1)=a+b+c=-a/2, 得：c=-3a/2-b
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a=-3/2-b/a
|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2=b^2/a^2+4(3/2+b/a)=(b/a)^2+4(b/a)+4+2=(b/a+2)^2+2>=2
所以|x1-x2|>=√2

3)f(0)=c
f(2)=4a+2b+c=4a+2(-3a/2-c)=a-2c
若c>0， 则f(0)>0, f(1)<0,故在(0,1)区间存在零点
若c<=0, 则f(2)=a-2c>0, f(1)<0, 故在(1,2)区间存在零点
综合得，f(x)在(0,2)必存在零点。,