Question

问题背景： （1）如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC与点D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F。

探究发现：在（1）中，若BF=a，FC=b，DE与BC间的距离为h。请说明S²=4S1S2:； 拓展迁移： （3）如图2，平行四边形DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG，△DBE,△GFC的面积分别为2,5,3，试利用（2）中的结论求△ABC的面积。

Answer 1

⑶过G作GM∥AB交BC于M，则四边形DGMB是平行四边形，
且S四边形DGMB=S四边形DGFE(同底同高)，
∴SΔGMC=5+3=8，
S四边形DGMB=√［4*S1*SΔGMC］=8，
∴SΔABC=2+5+3+8=18。

Answer 2

（1）解：S=6，S1=9，S2=1；

（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE为平行四边形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF，
∴△ADE∽△EFC，
∴
S2
S1
=(
DE
FC
)2=
a2
b2
，
∵S1=
1
2
bh，
∴S2=
a2
b2
×S1=
a2h
2b
，
∴4S1S2=4×
1
2
bh×
a2h
2b
=(ah)2，
而S=ah，∴S2=4S1S2；

（3）解：过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，
∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG=EF，
∴BH=EF
∴BE=HF，
∴△DBE≌△GHF，
∴△GHC的面积为5+3=8，
由（2）得，▱DBHG的面积为2
2×8 =8，
∴△ABC的面积为2+8+8=18．
（说明：未利用（2）中的结论，但正确地求出了△ABC的面积，给2分）
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