Question

一道关于线性代数 特征值，矩阵的题目~~ 求解释

题目是这样的：
设A为n阶实对称矩阵，且A³-A²+A-E=0
1.证明A是正定矩阵
2.能否由以上条件确定A具体是哪个矩阵？说明理由

我的困惑在于，我是想直接把A替换成λ，然后求的λ为正，所以是正定的。但是这样不能保证它所有特征值都为正呀？ 那正解应该如何呢？谢谢~~~~

Answer 1

之所以A的特征值全都是1，是因为一元三次方程x³-x²+x-1=0的实根只有1。而矩阵A的任意特征值λ都满足方程x³-x²+x-1=0，所以λ只能是1。
如果把A³-A²+A-E=0换成(A-E)(A-2E)(A-3E)=0这种情形，即一元方程的实根有多个，那么得到的就是A的特征值有很多种情形，可能全都是1，或全都是2，或全都是3，也可能是即有1也有2也有3等等，不管如何，特征值都是正的

Answer 2

首先：实对称矩阵的特征值都是实数(这是教材中的定理)
其次：实对称矩阵可以正交对角化，即存在正交矩阵U,使得U^TAU=E（单位矩阵)(这也是教材中的定理)

下面说明你所说的矩阵A实际上就是一个单位矩阵E。
设λ是矩阵A的任意一个特征值，对应的特征向量为α，于是
(A³-A²+A-E)α=(λ³-λ²+λ-1)α,
又(A³-A²+A-E)α＝0，所以(λ³-λ²+λ-1)α＝0， 因为α是非零向量，所以必有
λ³-λ²+λ-1＝0，即(λ³+1)(λ-1)=0, 由于特征值都是实数，所以必有λ＝1>0
根据上面的定理，矩阵A的所有特征值都是1，
当然是正定矩阵了。

再根据上面的定理一定存在正交矩阵U，使得
U^TAU=E(E的主对角元都是特征值), 即有A=UEU^T=E.

追问

嗯嗯~~~ 但是。。。只是通过上面的登时推出1是其特征值，可以保证全部特征就只是1了吗？

追答

设λ是矩阵A的任意一个特征值.

注意“任意”二字了吗？

追问

哦哦哦。。。。。 好的~~

理解了。。。谢谢 O(∩_∩)O~

追答

不客气的