Question

如图，已知直线y=-x+5与y轴、x轴分别相交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点

如图，已知直线y=-x+5与y轴、x轴分别相交于A、B两点，抛物线y=-x2+4x+c经过A、B两点．
1）求A、B两点的坐标，并求抛物线的解析式；
2）C为线段OA上的动点，过C做CE‖OB交直线AB于D。叫抛物线于E。连接OD。BE
①若OD=BE。求线段CE长，
②是否存在点C，使得△BDE为等腰直角三角形。若存在。直接写出C的坐标。若不存在。请说明理由。

Answer 1

⑴令y=0，即-x+5=0得x=5，∴B（5，0）
令x=0，得：y=5，∴A（0，5）
抛物线过A、B得方程组：
0=-25-5b+c
5=c
∴b=4，c=5，
∴抛物线解析式为：y=-x²+4x+5。
⑵①过D作DD‘⊥X轴于D’，过E作EE‘⊥X轴于E’，
∵CE∥OB，∴DD‘=EE’，又OD=BE，
∴ΔODD‘≌ΔBEE’，∴OD‘=BE’，
设C(0，m)，则D(-m+5，m)，E(-m²+4m+5，m)，
则OD‘=-m+5，BE’=m²-4m，得方程：
m²-3m-5=0，m=(3+√29)/2(负值舍去)，
m²-4m=-m+5=(7-√29)/2，
∴-m²+4m+5=(3+√29)/2，
即CE=(3+√29)/2。
②不存在。
理由：∠CEB>90°。

Answer 2

1)令y=0,-x+5=0,x=5所以与x轴的交点为B（5,0）
令x=0,y=5,所以与y轴的交点为A（0.5）
将A(0,5)代入y=-x²+4x+c,所以c=5
所以抛物线方程为：y=-x²+4x+5