Question

两道复变函数计算题，见图片，请大侠帮忙 谢谢

Answer 1

1，f(z)的有限有限孤立奇点为z=1和z=-1，且都为一级极点。由留数计算规则，Res[f(z),1]=（z趋于1）lim(z-1)*[e^2/(z^2-1)]=lime^2/(z+1)=e^2/2。同理Res[f(z),-1]=-e^2/2。
2，设R(z)=1/(z^2+1)^2，由于R（z）满足分母的次数至少必分子的次数高2次的条件，可用留数计算该积分。R(z)在上半平面内的极点只有z0=i，且为二级极点。由留数计算规则，Res[R(z),i]=(z趋于i)limd[(z-i)^2*R(z)]/dz=limd[1/(z+i)^2]/dz=lim-2/(z+i)^3=-2/(2i)^3=1/4i。所以原积分=2πi*Res[R(z),i]=π/2。