Question

求两个等号的式子如何化解

如
(z-y)^2+(z-x)^2+(x-y)^2=(z-y-1)^2+(z-x-2)^2+(x+1-y)^2=(z-y-1)^2+(z-x+1)^2+(x-y-2)^2
这个式子怎么化解啊？

Answer 1

逻辑上应该清楚，任何A=B=C的连等式，表达的意思都是A=B并且B=C，也就是一个方程组{A=B,B=C}。
楼主这个先要把它拆开成一个方程组
(z-y)^2+(z-x)^2+(x-y)^2=(z-y-1)^2+(z-x-2)^2+(x+1-y)^2①
(z-y)^2+(z-x)^2+(x-y)^2=(z-y-1)^2+(z-x+1)^2+(x-y-2)^2②
然后就是解这个方程组了，当然两个先分别化简，再解（就和解普通二元一次方程组一样，只不过这里有三个未知数，化简到最后，看哪个方便，就把哪个当成已知数，表示出其余两个数就行了；当然不排除三个数里面有的能解出来的情形）。
从形式上判断，这个方程组化简是有规律可循的。它们都有公共部分z-y，z-x，x-y，两个数加加减减看起来长的很，换元写成一个数看起来就方便。令a=z-y，b=z-x，c=x-y。然后化成

a²+b²+c²=(a-1)²+(b-2)²+(c+1)²①
a²+b²+c²=(a-1)²+(b+1)²+(c-2)²②
然后你发现没有，所有式子左边都有一个a对应右边(a+·)²里面的a，b、c也有对应的，直接就想到通过移项，平方差公式降次，变成一次方程。
由①：a²-(a-1)²+b²-(b-2)²+c²-(c+1)²=0
平方差公式打开：2a-1+2(2b-2)-(2c+1)=0
即：a+2b-c=3③
同样方法，②化简为a-b+2c=3④
然后就方便了，把a=z-y，b=z-x，c=x-y还原回去
从③得z-x=1⑤，从④得x-y=1⑥
这样最终就是简简单单的⑤、⑥两个方程，两个方程3个未知数，这里可以得到无数多的解，比如把z看成常数，解出x=z-1，y=x-1=z-2
于是只要取一个z，就有x、y的值，对应的就是一组解，比如z=1，x=0，y=-1就是满足方程的；还比如z=-0.5，x=-1.5，y=-2.5也是满足方程的。如果你想首尾呼应，把结果写成和题目一样的连等式，可以写成z=x+1=y+2，更好看。

总结一下，就是一定要拆开成两个方程联立方程组，然后各种技巧（换元、平方差公式之类的），最后可以得到最简洁的结果。如何判断结果是对的呢？从粗略地看，方程个数不能增多，之前是2个方程现在还是2个方程（当然某些特殊的情况方程个数会增多，那是因为有特殊限定条件，最简单的例子|x-1|+(y+1)²=0由于实数限定条件a²≥0，化出来是x-1=0和y+1=0两个方程；但这道题没有用限定条件，因此个数不会增多）。如果细致一点看，把x=z-1，y=z-2带回最初的方程算一下，就会发现连等式的确成立，结果都是6。
不过我说的是最普适的方法，遇到所有这样的题都可以这么做。我也不太清楚初中竞赛之类的有没有讲过什么针对于楼主这种类型的题非常巧妙的简便算法。方法仅供参考。