Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，过M（1,0）且且斜率为√3的直线与l相交于点A，

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，过M（1,0）且且斜率为√3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若向量AM=向量BM，则p=

Answer 1

依题意。设过M（1,0）且且斜率为√3的直线Lm: y=√3(x-1)
又|向量AM|=|向量BM|
【注：B为直线AM与C的交点，此时B的位置有两种情况，①B在线段AM内，此时不可能有向量AM=向量BM。②B在线段AM内，此时只可能有向量AM= -向量BM ，因为向量AM与向量BM方向相反。画图易看出。只可能为|向量AM|=|向量BM|，题目这应该写错了】

∴M为线段AB的中点 【注：线段AM=BM，M在线段AB内】
作BN⊥直线 l 于N，设直线l与x轴交于Q
∴Rt△ABN中
MQ为Rt△ABN的中位线
又MQ=1+（p/2） 【注：Q(-p/2,0).M(1,0)】
∴BN=2MQ=2+p
∴B(2+(p/2),yB) 【注：N(-p/2,yB)】
又B在直线Lm: y=√3(x-1)上
带入xB得yB=√3(2+p/2-1)=√3(1+p/2)
∴B(2+p/2,√3(1+p/2))
又B在抛物线C： y²=2px上
带入B点横纵坐标得
（√3(1+p/2)）^2=2p•(2+p/2)
即3(1+p/2)^2=4p+p^2
即3+3p+（3/4）p^2=4p+p^2
即 -（1/4）p^2-p+3=0
即-p^2-4p+12=0
即p^2+4p-12=0
即（p-2）(p+6)=0
又p＞0
∴p=2