Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为二分之根号二，

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为二分之根号二，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F1，F2为定点的三角形的周长为4（根号二+1）。一等轴双曲线的定点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于定点的任意一点 求两个曲线的方程

Answer 1

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率=√（a^2-b^2）/a=√2/2,a^2-b^2=1/2*a^2,b^2=1/2*a^2,
以该椭圆上顶点和椭圆的左右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长=2a+2c
=2a+2√(a^2-b^2）=4(√2+1),a+√(a^2-b^2）=2(√2+1),a+√(a^2-1/2*a^2）=2(√2+1),
a+a/√2=2(√2+1),得a=2,b=√2，则椭圆方程为x^2/4+y^2/2=1，即x^2+2*y^2=4
c^2=（a^2-b^2）=4-2=2
则等轴双曲线方程为x^2-y^2=2