Question

有有限个第一类间断点可积，有第一类间断点没有原函数，那么牛顿莱布尼茨公式怎么还能用？

文都的老师为了证明此时牛顿莱布尼茨公式能用，举了下面一个例子：
f(x)=ln(1+x),x>=0
f(x)=1/1+x^2,x<0,求 ∫（0到2）f(x-1)dx
解: ∫（0到2）f(x-1)dx= ∫（0到2）f(x-1)d(x-1)=f(-1到1)f(x)dx （做到这一步,老师说这里还不能用牛顿公式，我也理解，然后老师继续做） =f(-1到0)f(x)dx+f(0到1)f(x)dx (做到这里他说这分开的两部分是能分别用牛顿公式的，所以问题解决了，但是我产生了一个疑问：f(0到1)f(x)dx 是可以用的，但是f(-1到0)f(x)dx为什么能用？莱布尼茨公式不是要求在闭区间[0,1]上连续才可以用吗？f(0到1)f(x)dx 在0这点又不连续，那不是还是不能用牛顿公式么?)

Answer 1

用文本录入数学公式时最好加上必要的括号，否则表达的意思可能不对。

x>=0时，f(x)=ln(1+x),
x<0时,f(x)=1/(1+x^2),
求 ∫（0到2）f(x-1)dx
解: ∫（0到2）f(x-1)dx
= ∫（0到2）f(x-1)d(x-1) （这一步有误，此处积分变量是x-1，范围是-1到1）

=f(-1到1)f(x)dx
=f(-1到0)f(x)dx+f(0到1)f(x)dx

用“_”表示下标，“^”表示上标，用换元法，设y=x-1，当x在0到2之间变化时，y在-1到1之间单调变化。
于是

∫_0 ^2 f(x-1)dx
= ∫_{-1} ^1 f(y) dy

= ∫_{-1} ^0 f(y) dy+= ∫_0 ^1 f(y) dy

另外 ∫(0到1)f(x)dx是一个数，不是函数或变量，不存在连续与否的问题。想必楼主是想问f(x)在0这一点不连续，为何在[0, 1]上积分仍然可以使用牛顿-莱布尼兹公式。

其实，牛顿-莱布尼兹公式的条件并不是充分必要条件（特别是考虑到瑕积分），楼主是当成了充要条件了。
第一类间断点也不一定要有限个才行，可数无限个也是可以的（不可数无限个时往往就不行）。后续在学复变函数时还会遇到它。

一个很明显的例子是，如果函数在开区间(a, b)内连续（在区间外无定义），且可积（即 ∫_a ^b f(x) dx 存在），如果极限 lim _{x→a+} f(x) 与 lim _{x→b-} f(x) 都存在，那么此时可以补充定义f(x)在 a、b两点的值为该点的极限值以使之连续，则牛顿-莱布尼兹公式也成立（楼主所问也是此类情况，单独考虑）。
还有一个情况是f(x)在 a点或b点的极限并不存在（当然也无定义，即使补充定义，也无法连续），如f(x)=1/√x在区间(0, 1]内，在x=0这一点。但是积分 ∫_0 ^1 f(x) dx仍然存在。（此时的积分称为瑕积分或欧拉意义下的积分），牛顿-莱布尼兹公式仍然可以成立。后续学习过程中，会充分利用这一点来求一些级数的值。

追问

一针见血，完全是我想要的答案，谢谢。你里面的“lim _{x→a+} f(x)”中的符号“_"不是下标的意思吧？就是当做隔开的一个符号吧？

追答

表示位于极限符号lim下方，这是latex录入极限的方法。

追问

你这么厉害，再帮我看一题吧http://zhidao.baidu.com/question/514870247.html?quesup2

Answer 2

牛顿莱布尼兹公式是可以推广的，把被积函数的连续性这个条件放宽，比如：
f(x)在[a,b]上可积，且F(x)满足：F(x)在[a,b]上连续；且在(a,b)内，除去有限个点外有F'(x)=f(x)，则∫(a到b) f(x)dx=F(b)-F(a)

追问

你这个推广在哪里看的啊？

追答

任课老师如果讲得深一点的话会提到，考研辅导班与考研辅导书上应该有