Question

证明向量组(l)可由向量组（ll)线性表出，那么（l)的秩不超过（ll）的秩

Answer 1

若向量组α1,α2,...,αs可由向量组β1,β2,...,βt线性表示则 r(α1,α2,...,αs)<=r(β1,β2,...,βt)
设α1,α2,...,αs1; β1,β2,...,βt1 分别是两个向量组的极大无关组
则r(α1,α2,...,αs)=s1, r(β1,β2,...,βt)=t1
且由已知 α1,α2,...,αs1 可由 β1,β2,...,βt1 线性表示.
所以存在矩阵K满足 (α1,α2,...,αs1)=(β1,β2,...,βt1)K
K为t1行s1列矩阵.
假如 t1<s1
则齐次线性方程组 Kx=0 有非零解x0
所以 (α1,α2,...,αs1)x0=(β1,β2,...,βt1)Kx0=0
即x0是齐次线性方程组(α1,α2,...,αs1)x=0的非零解
所以α1,α2,...,αs1线性相关, 矛盾.
所以 s1<=t1.
即有 r(α1,α2,...,αs)<=r(β1,β2,...,βt)

Answer 2

你可以查看高教版的线性代数教材，里面有详细讲解 ，或者查一下考研数学复习全书，里面应该也有例外的证法

Answer 3

课本有证明的