Question

线性代数方程组的结构 题目解答 要有详细解析！！ 在线等……

1.求向量组的秩，并求所有最大无关组。（看清楚是“所有”）
a1=（4，-1，-5，-6）' ，a2=（1，-3，-4，-7）' ，a3=（1,2,1,3,）'
a4=（2,1，-1,0）'
2.设M*N矩阵A的秩为R（A）=n-1，且t1，t2是齐次方程AX=0的两个不同的解，则AX=0的通解为（ ）
A、kt1,k ∈R B、kt2,k∈R C、k(t1+t2),k∈R D、k(t1-t2),k∈R
！！！！为什么是D？求详细解析！

3.已知b1，b2是非齐次线性方程组AX=b两个不同的解，a1和a2是AX=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则AX=b的通解为______(求解析）

4.①若AX=0的解均是BX=0的解，则R(A)>=R(B)
②若R(A)>=R(B)，则AX=0的解均是BX=0的解
③若AX=0与BX=0同解，则R(A)=R（B）
④若R(A)=R(B),则AX=0与BX=0同解
以上命题正确的是_______(①③)为什么？求详细解析

Answer 1

1，把a1，a2，a3，a4，按照列向量排成一个4乘4 的方阵，对这个方针仅作初等行变换，可以得到一个第一行是1 3 -2 -1第二行是0 -11 9 6第三四行都是0的矩阵，所以这个向量组的秩是2,极大线性无关组有三组，a1，a2；a1，a3,；a1，a4.
2，A的秩是n-1，n个未知数，方程组基础解析只有一个解向量，t1，t2都是他的解，他们肯定线性相关，其中不乏有个0向量组，t1，t2既然不同，那么他们的差肯定不为0，那么k（t1-t2）就可以表示所有的解向量。k=0时，0向量也表示喽
3，k1a1+b1,k2a2+b2.解析：其次线性方程组的解与AX=B的解的线性组合还是AX=B的解。再由a1，a2无关，与两个无关 的b1，b2作线性组合，也无关
4（1）从基础解系的角度考虑，设AX=0的基础解析的解向量是a1 a2 ……ar，RA=n-r，a1……ar的线性组合必然是BX=O的解，BX=0 的基础解析解向量个数不小于r，所以RA>=RB；（2）毫无根据，可以随便举个三元方程组推翻；（3）同解意味着有相同的基础解系，秩肯定相同喽；（4）随便举个例子A [1 1 ] [1 1] B[0 1][0 2]

Answer 2

1.A没说特征向量线性无关
B.没说矩阵是实对阵矩阵
C.满足实对阵矩阵，所以正确
D.没道理。都没说是什么矩阵
2.重数就是比如4阶方阵的特征值为0,0,1,2则其特征值0的重数是2
3.（1）实对称矩阵特征向量必然线性无关，特征值相同时矩阵相似是充要条件
（2）要搞清楚概念，合同矩阵不一定特征值相同。