Question

高数，求立体的体积

求下列曲线所围平面图形绕指定轴旋转一周所得旋转体的体积。
（x-2)²+(y-3)²=1 答案是π²/6
还有，请说明这个旋转体到底是什么形状呀

Answer 1

最简单方法是用古鲁金第二定理.
古鲁金第二定理,图形面积A绕与它不相交的定直线L旋转而生成的旋转体的体积等于面积A与其重心所经过的的圆周长的乘积．
旋转体形状就是一个救生圈状的环形,圆心坐标(2,3),圆面积S=π*1^2=π,圆中心至X轴距离为3,圆心绕X轴一周为2π*3=6π,所以体积V=6π*π=6π^2.相当于把圆环拉直,圆柱高度为2π*3=6π,底面积为π,故体积为π*6π=6π^2.

用一元函数积分,
上半圆绕X轴的旋转体体积减去以水平直径绕X轴旋转的圆柱体积加上圆柱体体积减去下半圆绕X轴旋转体体积,中间圆柱体积正负抵销.
y=3±√[1-(x-2)^2],1<=x<=3,
V=π∫ [1,3]{3+√[1-(x-2)^2]}^2dx-π∫ [1,3]{[3-√(1-(x-2)^2)]^2]}dx
=π∫ [1,3] *12√[1-(x-2)^2]dx
=12π∫ [1,3]√[1--(x-2)^2]d(x-2)
=12π∫ [-1,1]√(1--u^2]^2}du
令u=sint,du=costdt,
V=12π∫[-π/2,π/2](1/2) [1+cos2t)dt
=12π∫[0,π/2][t+(sin2t)/2]
=6π^2.

Answer 2

答案是π²/6,是错误的！

追问

不好意思，绕x轴旋转，答案是6π²

追答

呵，果然是错的。