Question

大家帮我看下这个不定积分是不是算错了∫(1/x^2-a^2)dx,

大家帮我看下这个不定积分是不是算错了,正确答案:
∫(1/x^2-a^2)dx=1/2a∫(1/(x-a)-1/(x+a))dx=(1/2a)ln|(x-a)/(x+a)|+c
我的做法是第二类换元积分，令x=asect,则∫(1/x^2-a^2)dx=∫(asect*tant)/(a^2*tant^2)=(1/a)∫csctdt
=(1/a)ln|csct-cott|+c=(1/a)ln|x/√(x^2-a^2)-a/√(x^2-a^2)|+c=(1/a)ln|(x-a)/(x^2-a^2)|+c
=(1/a)ln|√(x^2-a^2)/(x+a)|+c,我知道原函数可以相差一个常数c，
但是(1/a)ln|√(x^2-a^2)/(x+a)|和（1/2a)ln|(x-a)/(x+a)|好像不是相差一个常数吧？求大虾们帮我看一下，我是不是哪里错了？
题目是∫1/(x^2-a^2)dx

Answer 1

建议不要省略必要的括号，在容易引起歧义的地方最好不要省略乘号和空格，如x=asect就不知所云，让人容易理解为arcsec t。从上下文推断应该是a*sec t。（在录入三角函数时，函数与变量之间最好留一个空格或是加上括号，以避免出现sect、tant、csct、cott这样的东西，因为你在百度知道录入文本时，无法对各部分内容分别选择字体。）
被积函数似乎应该是 1/(x^2-a^2) 而不是1/x^2-a^2。
第一个式子应该写成
∫ 1/(x^2-a^2) dx=1/(2a) ∫ 1/(x-a)-1/(x+a) dx=1/(2a) * ln |(x-a)/(x+a)|+c。

另外，推导并不完善，只考虑了|x|>a的情况，没有考虑|x|<a的情况

对于此处提到的问题，由于1/(2a) * ln |(x-a)/(x+a)|与(1/a) * ln |[√(x^2-a^2)]/(x+a)|相等，所以并无问题。

这是因为|[√(x^2-a^2)]/(x+a)|=√|(x^2-a^2)/(x+a)^2|=√|(x-a)/(x+a)|=|(x-a)/(x+a)|^(1/2)，
所以 ln |[√(x^2-a^2)]/(x+a)|=1/2 * ln |(x-a)/(x+a)|

追问

根号为什么可以提到外面去啊？比如|√x|如果等于√|x|的话，那么前者定义域是x大于0，而后者是全体实数啊？你 QQ 多少，我加你好么，方便问问题

追答

你的推导只对|x|>a成立，因为一开始做变量代换时就设x=a*sec t，把根号提出自然是没有问题的。

追问

厉害，问了很多人不知道，还是你的答案我最满意，可以加Q么

追答

我经常在Linux下编程，由于腾讯公司不允许第三方开发QQ客户端，腾讯自身开发的Linux下的QQ客户端又经常崩溃，所以很少上QQ，通常只用QQ信箱或者foxmail信箱。

Answer 2

中间错.(1/a)ln|x/√(x^2-a^2)-a/√(x^2-a^2)|+c=(1/a)ln|(x-a)/√(x^2-a^2)|+c
=(1/2a)ln|(x-a)/(x+a)|+c

追问

你的(1/a)ln|(x-a)/√(x^2-a^2)|+c到(1/2a)ln|(x-a)/(x+a)|+c这一步怎么算的?

追答

(1/a)ln|(x-a)/√(x^2-a^2)|+c
=(1/a)ln|√【(x-a)^2/(x^2-a^2)】|+c
=(1/2a)ln|(x-a)/(x+a)|+c

追问

ln|√【(x-a)/(x+a)】|这个式子的根号外面有绝对值，可以直接把根号放到外面，
即ln√|【(x-a)/(x+a)】|=1/2ln|【(x-a)/(x+a)】|吗,因为我只知道比如ln[x^(1/2)]等于(1/2)lnx，外面带绝对值的我就不知道处理了

追答

你把绝对值放到根号里面去就行了