Question

高数题，大一上，求解答！谢谢

设f(x)在[a,b]上二阶可导，f"(x)<0。证明:∫f(x)dx≤(b-a)f((b-a)/2)。注:题中∫的积分上下限是b,a因为手里不会打，只能这样了。谢谢各位的解答。

Answer 1

设x0=(b-a)/2, 由泰勒公式：
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f"(c)(x-a)^2/2<f(x0)+f'(x0)(x-x0)
∫(a,b)f(x)dx
≤(b-a)f(x0)+∫(a,b)f'(x0)(x-x0)dx
=(b-a)f(x0)+f'(x0)(x-x0)^2/2|(a,b)
=(b-a)f(x0)
=(b-a)f((b-a)/2)。

Answer 2

由积分中值定理即可得，我也不会打这些符号