Question

数学问题，希望大家进来帮忙看一下！谢谢！

已知f（x）=ax∧2+bx+c（a≠0）,且方程f（x）=x无实根，若a+b+c=0,则不等式f[f（x）]＜x对一切x∈R成立。。。请问一下这个命题到底对不对啊。。请解释一下，谢谢！
大家有没有详细点的解释和过程啊！我们老师非要说是错的

Answer 1

亲，你好，这个命题是正确的~_~
首先，你要明白a+b+c=0的意思，这个很容易的，就是函数过点(1，0)，源纤你说对不？再者雹芦仿，f(x)=x没有实数根，有画图可知，f(x)的图像一定是开口向下的抛哗蔽物线，且图像始终在y=x的下面(这个很关键哦)，最后，画出一个草图，你就可以解题了，f(f(x))的含义可以自己思考一下，但是很容易得知，f(f(x))的值域始终是f(x)的子集，所以说，f(f(x))图像只是f(x)留下的一部分(因为f(x)有最大值)，而由前面的分析知道，f(f(x))的图像始终在y=x的下面，也就是结论成立~_~

祝你好运~_~

Answer 2

f[f(x)]-x=af(x)^2+bf(x)+c-x
=af(x)^2-axf(x)+axf(x)-ax^2+bf(x)-bx+ax^2+bx+c-x
=af(x)[f(x)-x)]+ax[f(x)-x]+b[f(x)-x]+f(x)-x
=[f(x)-x]*[ af(x)+ax+b+1]

f(1)=a+b+c=0得：b=-a-c
而f[f(x)]-x=[f(x)-x]*[ af(x)+ax+b+1]
令af(x)+ax+b+1=a(ax^2+bx+c)+ax+b+1=0
则a^2x^2+(ab+a)x+ac+b+1=0
判别式=(ab+a)^2-4a^2(ac+b+1)=a^2[(b-1)^2-4ac-4]<-4a^2<0无实根，念盯
而a^2>0
所以af(x)+ax+b+1=a(ax^2+bx+c)+ax+b+1>0（Δ<0，二次项系数>0时，函数值恒差高大＞0）
因此只需证明a<0，则f(x)-x<0。（Δ<0，二次项虚竖系数<0时，函数值恒<0)
由f(x)-x=0没根，得：
（b-1)^2+4a(b+a)<0
(b+2a)^2-2b+1<0, 故b>1/2
而（b-1)^2-4ac<0，4ac>（b-1)^2>0,a c同号
b=-a-c,b与a、c异号
因此有a<0
故不等式f[f（x）]＜x对一切实数x都成立

Answer 3

命题没错啊
这个题你画个图像就能理解了