Question

数学求解！！！

已知函数f(x)=2^x-1/2^x+1,证明f(x)是r上的增函数。

Answer 1

f(x)=(2^x+1-2)/(2^x+1)=1-2/(2^x+1)
∵2^x是R上的增函数,值域为(0,+00)
∴2^x+1是R上的增函数,值域为(1,+00)
∴1/(2^x+1)是R上的减函数,值域为(0,1)
∴-2/(2^x+1)是R上的增函数,值域为(-2,0)
∴1-2/(2^x+1)是R上的增函数,值域为(-1,1)
即f(x)是R上的增函数,值域为(-1,1)
用定义证明：
任取x1<x2,且x1，x2属于R，分别代入原式得
f（x1）=1-2/（2x1²+1），
f（x2）=1-2/（2x2²+1）.
则f（x1）-f（x2）=2（x1²-x2²）/（2x1²+1）（2x2²+1）
.因为x1<x2,所以x1²<x2²，
所以f（x1）-f（x2）<0,
所以f（x）为R上的增函数。

Answer 2

f(x)=2^x-(1/2)^x+1
f'(x)=2^x·ln2-(1/2)^x·ln(1/2)
f'(x)=2^x·ln2-2^(-x)·ln(1/2)

∵f(x)=2^(-x)在x∈R上都有f(x>0)，ln(1/2)<0，
∴-2^(-x)·ln(1/2)>0

∵f(x)=2^x在x∈R上都有f(x>0)，ln2>0，
∴2^x·ln2>0
∴f'(x)=2^x·ln2-2^(-x)·ln(1/2)>0

∴f(x)在x∈R上是增函数

Answer 3

分析 2^x在r上增函数且值域是（0，+00）
解：设t=2^x t的定义域是（0，+00）
f（x）=g(t)=t-1/t+1
g'(t)=1+1/(t^2)>0
所以g‘（t）在（0，+00）单增
所以f(x)是r上的增函数