Question

空间几何

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA垂直于面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM.AN.MN（1）求证：MN∥面PAD;（2）若MN＝5，AD＝3，求二面角N-AM-B的余弦值

Answer 1

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA垂直于面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM.AN.MN（1）求证：MN∥面PAD;（2）若MN＝5，AD＝3，求二面角N-AM-B的余弦值

(1)证明：∵四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥面ABCD，点M，N分别是CD，PB的中点

∴面PAB⊥面ABCD，面PAD⊥面ABCD

过N作NE⊥AB交AB于E，连接ME

∴NE⊥面ABCD==>面NEM//面PAD

∵MN∈面NEM，∴MN∥面PAD

 

(2)解析：∵MN＝5，AD＝3

∴ME=AD=3，NE=4==>PA=2NE=8==>PB=√(64+9)=√73==>AN=NP=NB=√73/2

AM=√(9+9/4)=3√5/2

过N作NF⊥AM交AM于F

在⊿NAM中

cos∠NAM=(NA^2+AM^2-MN^2)/(2NA*MA)=3/√365

cos∠NAM=AF/AN==>AF=AN*cos∠NAM=√73/2*3/√365=3√5/10

sin∠NAM=√356/√365=NF/AN==>NF=AN*sin∠NAM=√356/(2√5)

过F作FG⊥AM交AB于G

cos∠GAF=AF/AG=cos(∠BAD-∠DAM)=sin∠DAM=DM/AM=√5/5

AF/AG=√5/5==>AG=(3√5/10)/(=√5/5)=3/2

∴E,G重合==>NE⊥EF，∠NFE是二面角N-AM-B的平面角

EF=√(AE^2-AF^2)=√(9/4-9/20)=3√5/5

cos∠NFE=EF/NF=(3√5/5)/(√356/(2√5))=6/√356=3/√89

∴二面角N-AM-B的余弦值为3√89/89