Question

一道高中数学题，图你们找。急

如图，正方形ABCD所在平面互相与矩形ACEF所在平面互相垂直，已知AB=√2，AF=1，M是EF的中点（1）求证：AM∥平面BDE；（2）求二面角A-BD-F的大小

Answer 1

(1)证明：连接AC，BD，交点为N
　　连接EN
　　则由正方形ABCD，可得AN=½AC
　　由矩形ACEF得，AC∥且＝FE，
　　M是EF的中点，所以ME∥＝AN，
　　∴四边形ANEM为平行四边形，∴AM∥NF
　　因为NF在面BDE内，∴AM∥平面BDE
（2）连接FN
　　在正方形ABCD中有，AN⊥BD
　　又正方形ABCD所在平面互相与矩形ACEF所在平面互相垂直，FA⊥交线AC
　　∴FA⊥面ABD，∴FA⊥BD
　　FA，AN在面ANF内，∴BD⊥面AFN，∴BD⊥FN
　　所以角ANF等于二面角A-BD-F
　　在△ANF中，AF=1，角NAF=90°
　　AN=√2/2AB=1
　　所以tan∠AFN=AF/AN=1
　　所以∠AFN=45°
　　二面角A-BD-F的大小为45°
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Answer 2

设AC、BD交于点O，由题目条件得AO=BO=CO,AF=MO=CE=1且AF‖MO‖CE，EC⊥AC,MO⊥AC,AF⊥AC。∠ECA=∠MOA=90°
因为MO=CE，AO=CO，∠ECA=∠MOA=90°
所以有△AMO≌△OCE
因为△AMO≌△OCE ，MO‖CE
所以AM‖OE
因为AM‖OE，OE为平面BED里的一条直线
所以AM‖平面BDE

（2）∵FA⊥AC，平面FACE⊥平面ABCD
∴FA⊥平面ABCD
∵AO⊥BD∴FO⊥BD∴∠FOA为二面角A-BD-F的平面角
在Rt△FOA中，OA=1，AF=1
∴∠FOA=45°
即二面角A-BD-F的大小为45

Answer 3

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