Question

在矩形ABCD,AB=√2,BC=2

点E为BC的中点 ,点F在CD上，若向量AB·向量AF＝√2,则向量AE·向量BF的值是

Answer 1

用向量的加减法转化一下就可以啦：
向量AF=向量AD＋向量DF；
AB·AF=AB·（AD＋　DF）=AB·AD＋AB·DF＝AB·DF=|AB｜×｜DF|=√2|DF|=√2；
所以|DF｜＝1；｜CF|=√2-1
AE·BF=（AB＋BE）·（BC＋CF）＝AB·BC＋AB·CF＋BE·BC＋BE·CF
＝AB·CF＋BE·BC＝－AB·FC＋BE·BF
＝－｜AB｜×｜FC｜cos0＋｜BE｜×｜BF｜cos0
＝－√2（√2－1）＋1×2＝－2＋√2＋2＝√2
其中垂直的向量，他们的数量积为0
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以下参考：
放在直角坐标系中,A为原点，AB为正方向
由题意得 B(根号2，0）;E(根号2，1);C(根号2，2）
∵向量AB向量AF=根号2

∴F(1,2)
∴向量AE向量BF=根号2

Answer 2

将坐标原点放在B,AB为纵轴，BC为横轴。则A(0,√2),C(2,0)=√2, E(1,0),F(2,y)
向量AB=(0,-√2),向量AF=(2,y-√2),AE=(1,-√2),,BF=(2,y)
向量AB·向量AF=-√2y+2=√2,y=√2-1.
则向量AE·向量BF=2-√2y=√2