Question

高数题目，极限

lim (tanx+x)/x，x趋向0，那计算时可以直接把tanx无穷小等价替换成x吗

Answer 1

你问的问题很好，很具有代表性。
就是等价无穷小在什么时候可以等价代换。
一般情况之下，只有在因式乘积的时候方可替换。
但是若是知道了等价无穷小的本质，就不用去理会了，任何地方都是可以等价代换的。
那就是泰勒公式。
tanx=x+1/3*x^3+o(x^3).
一般展开两项足以，即便考研也只需要三次方，足够了。
那么此题，显然是可以代换的。
倘使分子+变成-了，并且分母变为了x的三次方如何呢？
你可以自己考虑一下了。
希望你能对极限有更深层次的理解。

Answer 2

一般来说:等价无穷小只有在做乘除法是才能替换,不能随意在极限的加减法中使用
但上题可以把 (tanx+x)/x分成两部分求
即lim(tanx/x+x/x).x趋于0
把tanx无穷小等价替换成x了